Двойной интеграла в полярных координатах принимает вид (формулы (7)):   

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

 

 

 

Площадь плоской области на плоскости вычисляется по формуле


Пример 1.Вычислить площадь плоской области D , ограниченной прямой y=2 и параболой y=x²-1 ... Смотреть решение »

 Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:


где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY

ПРИМЕР 1. Найти площадь части  Ω сферы  x²  +  y²  +  z²  =  a² , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра  x²  +  y²  =  b² ,  b  ≤  a

Из симметрии относительно плоскости  ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части  Ω₁ , лежащей
выше плоскости  ОХY , и удвоить полученное значение.

Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y) , выражается двойным интегралом


Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y=x²,  y=1, x+y+z=4, z=0