Задача. Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей к ним. К каждому замку подходит только один ключ, но ключи смешались. Возьмем один из замков, назовем его первым и попробуем открыть его каждым из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым же ключом, а в худшем - только десятым. Сколько нужно в худшем случае произвести проб, чтобы открыть все замки?

Ответ: Для 1-го замка достаточно 9 проб (10-я не обязательна), для 2-го - 8, для 3-го - 7 и т.д., а для оставшегося 10-го не требуется ни одной. Общее число проб составит 9+8+7+...+1+0 = 45.

По определению

• вариация (дисперсия) $var\left ( x \right )=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$
• ковариация  $cov(X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}Y_{i}-\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\right)$

Свойства:

1. $cov(x,a)=0$
2. $cov(x,y)=cov(y,x)$
3. $cov(x,x)=var(x)$
4. $cov(x,y)=acov(x,y)$
5. $cov(x,у+z)=cov(x,у)+cov(x,z)$
6. $cov(x,y)=0$   (если $x,y$ независимы)
7. $var(a)=0$    (постоянная не обладает изменчивостью)
8. $var(ax)=a^2var(x)$    (при изменении единицы измерения переменной в раз, во столько же раз преобразуется и величина стандартного отклоне­ния этой переменной)
9. $var(x+a)=var(x)$   (сдвиг начала отсчета не влияет на вариацию переменной)
10. $var(x+y)=var(x)+var(y)+2cov(x,y)$   (вариация суммы двух переменных отличается от сум­мы вариаций этих переменных на величину, которая равна удвоенному значению ковариации между названными переменными)

Где $а$ — некоторая постоянная, а $х, у, z$ — переменные, прини­мающие в i-м наблюдении значения $x_i,y_i,z_i,i=1,..., n$ ($n$ — количество наблюдений).

Вариация (выборочная дисперсия) представляет собой среднее арифметическое квадратов отклонений случайной величины от среднего значения: $$var\left ( x \right )=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$ Выборочное среднеквадратическое отклонение случайной величины $x$ представляет собой корень квадратный из выборочной дисперсии: $$\sigma _x=\sqrt{var\left ( x \right )} $$