Ключевые слова: исследовать функцию на непрерывность, определение непрерывности, точки разрыва первого и второго рода, односторонние пределы, значение функции в точке, предел функции в точке.

Определение:   функция непрерывна в точке   x=a,  если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Определение детализируется в следующих условиях:

1) Функция должна быть определена в точке  x=a, то есть должно существовать значение  f(a).

2) Должен существовать общий предел функции

. - это подразумевает существование и равенство односторонних пределов.

3) Предел функции в данной точке должен быть равен значению функции в этой точке:

Пример 1. Функции исследовать на непрерывность. Построить эскиз графика функции.

Решение.

1) y(0)=0-1= -1  -  функция определена, условие выполняется;

2) Односторонние пределы

- конечны и различны, следовательно функция имеет в точке x=0  разрыв первого рода со скачком.

Исследуем функцию на непрерывность в точке x=2:

1)   y(2)=4- функция определена, условие выполняется;

2) Односторонние пределы

- конечны и равны, следовательно функция имеет в точке x=2 общий предел

- условие выполняется.

3) предел функции в точке  x=2

равен значению данной функции в данной точке, условие выполняется,

следовательно функция в точке  x=2 непрерывна.

Строим эскиз графика