Вторник, 06.12.2016, 17:06
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 55
Гостей: 55
Пользователей: 0
» »
21:11
Квантиль

Квантиль - что это?

Определение 1. Кванти́ль в математической статистике – число  xp такое, что заданная случайная величина  X  превышает его лишь с фиксированной вероятностью p.

Классное определение, но годится такое определение разве что для википедии, оно не конструктивно, т.е не пригодно для практических целей. Немного терпения, и вам станет понятно данное определение. Более того, вы с легкостью сможете находить квантили любого уровня, а также сможете применять данное понятие для решения задач по статистике.

Как найти квантиль

Попытка №2 - конструктивное определение квантиля:

Определение 1*. Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x), называют решение xp уравнения F (x) = p.

 Следовательно, для того чтобы найти квантиль xp необходимо найти решение уравнения F (x) = p.

Для наглядности, найдем решение графически:

1. Построим функцию распределения F(x);

2. Построим горизонтальную линию уровня p;

3. Находим точку пересечения данных линий, опускаем перпендикуляр на ось X, получаем  квантиль xp (квантиль уровня p) смотри рисунок 1.

 Аналогично для дискретной случайной величины X смотри рисунок 2.

Замечание.  Для дискретной случайной величины X функция распределения F(x) имеет ступенчатый вид, функция не монотонна. Поэтому решение уравнения F(x) = p в общем случае не однозначно ( в решение попадают интервалы). В таких случаях, для определенности квантилем назначают средину интервала, как показано на рис.2.

 

Квантили удобны для сравнения различных законов распределения вероятностей. В некоторых случаях пользуются децилями: x0,1 , x0,2 , x0,3 , …, x0,9 . Однако наибольшее распространение получили квартили. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75. Будем их обозначать соответственно как k1 , k2 , k3 . Квартили k1 и k3 называют обычно нижней и верхней квартилями. Вторая квартиль k2 совпадает с  медианой распределения.

Определение 2. Децилями называют квантили уровня 0,1, 0,2, 0,3, ...0,9, обозначают соответственно d1, d2, d3,...d9.

Определение 3. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75, обозначают соответственно k1 , k2 , k3 .

Определение 4. Медианой называют квантиль уровня 0,5,

обозначают Me = x0,5.

Ну вот, пришло время, на конкретном примере показать, как находить квантили.

Пример. Пусть имеется выборка дискретной случайной величины X:

3 0 1 5 1 2 4 5 3 4
2 4 2 0 2 3 1 3 2 1
4 3 0 2 1 0 4 2 3 2

Найти квантили уровня 0,2 и 0,3  ( x0,2 и x0,3 )

Решение.

1) Находим функцию распределения дискретной случайной величины:

Вариант Частота Частность F(X)
0 4 0,133333 0,133333
1 5 0,166667 0,3
2 8 0,266667 0,566667
3 6 0,2 0,766667
4 5 0,166667 0,933333
5 2 0,066667 1

2) Строим график функции распределения, проводим линии уровня p = 0,2 и p = 0,3,

3) получаем квантили: x0,2 = 1, x0,3 = 1,5, или, можно сказать так,  получаем децили d2=1, d3=1,5

Категория: Математическая статистика | Просмотров: 5420 | Добавил: Admin | Теги: статистика | Рейтинг: 5.0/2



Всего комментариев: 0
avatar
  .