Правила логики

Правила введения и удаления логических связок

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

Правило 1.  Если посылки $F_1$ и $F_2$ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1 ; F_2}{(F_1\&F_2)}$$

Эта запись при истинности посылок $F_1$ и $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5 (см. аксиомы логики);

 

Правило 2. Если $(F_1\&F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются подформулы $F_1$ и $F_2$, т.е.

$$\frac{(F_1\&F_2)}{F_1} \: и \: \frac{(F_1\&F_2)}{F_2}$$

Эта запись при истинности $(F_1\&F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ и $F_2$; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

Правило 3. Если $F_1$ имеет значение “и”, а $(F_1\&F_2)$ – “л”, то ложной является подформулы $F_2$, т.е.

$$\frac{F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2)}{ \left\rceil\right. \!\!F_2}$$

Эта запись при ... Смотреть решение »

Аксиомы логики

$А1. F_1\rightarrow (F_2\rightarrow F_1);$

$A2. (F_1\rightarrow F_2)\rightarrow ((F_2\rightarrow F_3))\rightarrow (F_1\rightarrow F_3));$

$A3. (F_1\& F_2)\rightarrow F_1;$

$A4. (F_1\& F_2)\rightarrow F_2;$

 $A5. F_1\rightarrow (F_2\rightarrow (F_1\&F_2));$

$A6. F_1\rightarrow (F_1\vee F_2);$

$A7. F_2\rightarrow (F_1\vee F_2);$

$A8. (F_1\rightarrow F_3)\rightarrow ((F_2\rightarrow F_3)\rightarrow ((F_1\vee F_2)\rightarrow F_3));$

$A9. (F_1\rightarrow F_2)\rightarrow (( F_1\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_2)\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1);$

$A10. (F_1\rightarrow F_2)\rightarrow ((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3));$

$A11. (F_1\rightarrow F_2)\rightarrow ((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3));$

$A12. \left\rceil\right. \!\!\left\rceil\right. \!\!F_1 \rightarrow F_1.$

  Множество формул, удовлетворяющих условиям тождественной истинности, бесконечно. Однако в качестве аксиом всегда выбирают только такие, которые при истинности посылок обеспечивают дедуктивный вывод истинности заключения. При этом стремятся создать такую систему аксиом, которая содержала бы минимальное число формул для з ... Смотреть решение »

Эквивалентные преобразования логических формул

Всякую формулу алгебры логики можно заместить равносильной ей формулой, содержащей вместо импликации или эквиваленции только две логических операции: дизьюнкцию и отрицание или коньюнкцию и отрицание:

$F_1\rightarrow F_2 =\left\rceil\right. \!\! F_1 \vee F_2$

$F_1\leftrightarrow F_2 = (F_1\rightarrow F_2) \& (F_2\rightarrow F_1)=(\left\rceil\right. \!\! F_1\vee  F_2) \& ( \left\rceil\right. \!\! F_2 \vee F_1)$

Этот факт показывает, что множество логических связок дизъюнкции и отрицания, конъюнкции и отрицания формируют функционально полные алгебраические системы. Они достаточны для выражения любой логической функции, любой таблицы истинности