|
15:26
Найти площадь части сферы, заключенной внутри прямого кругового цилиндра
|
|
Тема: Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла. Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y ) вычисляется по формуле: где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY ПРИМЕР 1. Найти площадь части Ω сферы x2 + y2 + z2 = a2 , заключенной внутри прямого кругового цилиндра x2 + y2 = b2 , b ≤ a Из симметрии относительно плоскости ОХY для нахождения искомой площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части Ω1 , лежащей выше плоскости ОХY , и удвоить полученное значение. 
РЕШЕНИЕ.
Здесь D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость ОХY , т.е. круг
радиуса b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости ОХY цилиндр x2 + y2 = b2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к полярным координатам. Замечание. Строго говоря, область D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при ε→ 0. где − так называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω .
ПРИМЕР 2. Найти площадь поверхности геликоида , заданного
параметрическими уравнениями: 
РЕШЕНИЕ.
 |
|
|
| Всего комментариев: 0 | |
