Вторник, 06.12.2016, 17:04
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 59
Гостей: 59
Пользователей: 0
» »
15:26
Найти площадь части сферы, заключенной внутри прямого кругового цилиндра
Тема: Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

 Площадь поверхности Ω , заданной уравнением z = f ( x , y )
вычисляется по формуле:

 

где D − ортогональная проекция области Ω на плоскость OXY

ПРИМЕР 1. Найти площадь части  Ω сферы  x +  y2  +  z2  =  a2 , заключенной
внутри прямого кругового цилиндра  x +  y2  =  b2 ,  b  ≤  a


Из симметрии относительно плоскости  ОХY для нахождения искомой
площади поверхности достаточно вычислить площадь ее части  Ω1 , лежащей
выше плоскости  ОХY , и удвоить полученное значение.



РЕШЕНИЕ.



Здесь  D – проекция рассматриваемой поверхности на плоскость  ОХY , т.е. круг
радиуса  b с центром в начале координат, который вырезает на плоскости  ОХY
цилиндр  x2  +  y2  =  b2 . Двойной интеграл был вычислен с помощью перехода к
полярным координатам.

Замечание. Строго говоря, область  D в примере 1 не удовлетворяет условиям, накладываемым на области при переходе к полярным координатам, а именно, она содержит начало координат (см. рис. 16). Тем не менее, полученный в примере 1 результат остается справедливым. Для его обоснования следовало бы вырезать из области  D некоторую малую окрестность точки (0,0), например круг радиуса  ε с центром в этой точке, а затем провести предельный переход при  ε→ 0.



Если поверхность Ω на ограниченной области Δ в плоскости переменных ( u , v ) задана параметрически с помощью соотношений: то ее площадь может быть найдена по формуле:
 

где

− так называемые гауссовские коэффициенты поверхности Ω .

ПРИМЕР 2. Найти площадь поверхности  геликоида , заданного
параметрическими уравнениями:





РЕШЕНИЕ.


Категория: Вычислить интеграл | Просмотров: 6018 | Добавил: Admin | Теги: кратные интегралы, двойной интеграл, тройной интеграл | Рейтинг: 0.0/0



Всего комментариев: 0
avatar
  .