Правило произведения: Если объект А может быть выбран из совокупности объектов $n$ способами и посла каждого такого выбора объект В может быть выбран $m$ способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана $n \cdot m$ способами.

Пример. Сколько можно составить пятизначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различны? ► Первую цифру можно выбрать 9-ю способами, вторую – 9-ю способами и т.д., следовательно, всего цифр можно составить $9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9=9^5$ способами (правило произведения).

Правило произведения в общем виде: Обозначим через $N$ число способов, которыми можно заполнить строчку $x_1,x_2 ,...,x_n$, если для выбора элемента $x_j$ существует $n_j$ вариантов $j=1,2,...,k$

Тогда

$$N=n_1\cdot n_2 \cdot ... \cdot n_k$$

Это правило иногда используется, когда речь идет о выборах элементов из $n$ элементов заданного множества, причем, выбор происходит без возвращения. В этом случае $n_1=n,n_2=n-1,...n_k=n-k$

Рассмотрим пример такой ситуации.

Задача 1.  Вам надо позвонить пятерым своим друзьям. Сколько имеется способов выстроить очередность этих звонков? Решение. Первый Ваш звонок может быть адресован любому из Ваших 5 друзей, второй – любому из 4 оставшихся друзей, которым вы еще не позвонили и т. д. Поэтому задача решается с помощью приведенной выше формулы при

$$N=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$$

Ответ 120 способов.