примеры пределов - 14 Июля 2013 - Примеры решений задач - Решим задачи, контрольные, курсовые...

Главная » 2013 » Июль » 14 » примеры пределов

13:51

примеры пределов

Задача. Найти предел последовательности $\dpi{100} \lim_{n \to \infty }(\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1}-n^{2})$

Решение.

$\dpi{100} \lim_{n \to \infty }(\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1}-n^{2})=$

Получаем неопределенность вида $\dpi{100} \infty -\infty$ . Поэтому умножаем и делим, на выражение, дополняющее до полного куба (чтобы избавится от кубического корня):

$\dpi{100} =\lim_{n \to \infty }\frac{(\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1}-n^{2})((n^{6}-6n^{4}+1)^{2/3}+n^{4}+n^{2}\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1})}{(n^{6}-6n^{4}+1)^{2/3}+n^{4}+n^{2}\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1}}=$

Упрощаем по формуле разности кубов:

$\dpi{100} =\lim_{n \to \infty }\frac{-6n^{4}+1}{(n^{6}-6n^{4}+1)^{2/3}+n^{4}+n^{2}\sqrt[3]{n^{6}-6n^{4}+1}}=$

Получаем неопределенность вида $\dpi{100} \infty /\infty$ . Делим числитель и знаменатель на старшую степень $\dpi{100} n^{4}$ :

$\dpi{100} =\lim_{n \to \infty }\frac{-6+\frac{1}{n^{4}}}{(1-\frac{6}{n^{2}}+\frac{1}{n^{6}})^{2/3}+1+\sqrt[3]{1-\frac{6}{n^{2}}+\frac{1}{n^{6}}}}=\frac{-6}{1+1+1}=-2$

Мы учитываем, что $\dpi{100} 1/n^{p}\rightarrow 0$ при $\dpi{100} n \to \infty$ ( $\dpi{100} p>1$ — число, степень).

Всего комментариев: 0