Пример 1.Разложить функцию sin(z) в ряд Тейлора в окрестности точки z=2

Пример 1'.Разложить по степеням (z-2) функцию sin(z)

(заметим, задания взаимно-тождественны)

Решение.

1) Замена  z-2 = t, тогда  z = t+2

Используя тригонометрические формулы, получим

sin(2+t)=sin2cost+costsin2

2) Используя основные  разложения в ряд Маклорена:

получим

Пример 2. Разложить по степеням z (в точке z₀=0) функцию

Решение.

1) Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть:

2) Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

3) Для нахождения окончательного ответа нужно сделать преобразование приведения подобных членов, так как в полученном выражении свободный член встречается дважды. Имеем

Пример 3. Разложить по степеням z  функцию

Решение.

1) Дробь неправильная, поэтому выделяем целую часть:

2) Записываем разложение элементарной дроби и получаем:

3) Выполняем приведение подобных членов,  имеем

Калькулятор для разложения функции в ряд Тейлора