Найти область сходимости ряда:   $\sum_{n-1}^{\infty }\frac{n^{3}\cdot (x+4^{2n+1})}{(n+1)!}$

Решение: Найдем интервал сходимости данного ряда. Используем признак Даламбера

$$\lim_{n \to +\infty }\left | \frac{u_{n+1}(x)}{u_{n}(x)} \right |=\lim_{n \to +\infty }\left | \frac{\frac{(n+1)^3\cdot (x+4)^{2n+3}}{(n+1+1)!}}{\frac{n^{3}(x+4)^{2n+1}}{(n+1)!}} \right |=$$

$$=\lim_{n \to +\infty }\left | \left ( \frac{n+1}{n} \right )^3\cdot \frac{(x+4)^2(x+4)^{2n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n(n+1)}{(x+4)^{2n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n(n+1)(n+2)} \right |=$$

$$=(x+4)^2\int \lim_{n \to +\infty  }\left (\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^3\cdot \frac{1}{n+2}  \right )=(x+4)^2\lim_{n \to +\infty \frac{1}{n+2}}=(x+4)^2\cdot 0=0$$

.

Ответ: Ряд сходится при $x\in (-\infty ;+\infty )$

Вы можете заказать решение любых задач по математическому анализу

 Стоимость решения одного задания от 50 руб

Способы оплаты: яндекс-деньги или webmoney

Примеры на сходимость функциональных рядов