♦ Пример 1.   Доказать, что если А и В подмножества в U и А ⊂ В, то А' ⊃ В'.

Доказательство.

▲ А' – дополнение к А в универсальном множестве U, В' – дополнение к В в U.

Пусть х ∈ В' , следовательно х ∉ В (по определению дополнения) ⇒ х ∉ А, так как по условию А ⊂ В.

Таким образом, х ∈ А', т.е. всякий элемент множества В' является элементом множества А', значит, В' ⊃ А'.▲

♦ Пример 2. Доказать справедливость равенства: (А \ В) \ С = (А \ С) \ (В \ С).

♦ Пример 3. Доказать, что для любых множеств А и В верно равенство

(А' ∩ В)'= A ∪ В'.

... Смотреть решение »

Операции над множествами

Пример1. Найдем пересечение множеств А = {а, b, с, d, е} и  В  =  {b, d, e, g, к}.

Решение :  Обоим множествам принадлежат элементы b, d, e.
Поэтому А ∩ В = {b, d, e}.

Пояснение. Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству ... Смотреть решение »

Как найти все подмножества множеств

На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.

Пример 1.  Дано множество А = {а, с, р, о}. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:

Собственные подмножества: {а} , {с} , {р} , {о} , {а, с} , {а, р} , {а, о}, {с, р} , {с, о } ∈, {р, о}, {а, с,р} , {а, с, о}, {с, р, о}.

Несобственные: {а, с, р, о}, Ø.

Всего: 16 подмножеств.

Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.

• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2ⁿ подмножеств.

Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.

Вывод формулы: Допустим у нас имеется множество из n-элементов. При составлении подмножеств первый элемент может принадлежать подмножеству или не принадлежать, т.е. первый элемент можем выбрать двумя способами, аналогично для всех остальны ... Смотреть решение »