Задача. Имеется пять различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробований при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок участвует. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение.  Имеем испытания Бернулли с вероятностью успеха $p=15$
и с вероятностью неудачи $q=1−p=45$.
Испытания проводятся до появления первого успеха. Пусть случайная величина $X$
– число проведённых испытаний. Надо найти распределение случайной величины $X$.

Очевидно, что возможные значения $X$ - натуральные числа.

Событие ${X=k}$ означает, что сначала оказалось $k−1$
неудач, а в испытании с номером $k$
наступил успех. Испытания Бернулли независимы, поэтому
$P(X=k)=q^{k−1}p$
для $k=1,2,…$

Таким образом, получается геометрическое распределение.
Функция распределения

$F(x)=P(X⩽x)=P(X=1)+P(X=2)+⋯+P(X=⌊x⌋)=$

$=p+pq+⋯+pq^{⌊x⌋−1}=p\frac{1-q^x}{1-q}=1−q⌊x⌋=1-\left (\frac{1}{5}  \right )^{x}$

Найдем матожидание $MX$. По определению
$MX=\sum_{n=1}^{\infty }n\cdot P(X=n)=\sum_{n=1}^{\infty}npq^{n-1}=p\sum_{n=1}^{\infty }nq^{n-1}$

Найдем сумму $S=1+2⋅q+3⋅q^2+…$

$qS=q+2⋅q2+3⋅q3+…$

$S−qS=1+q+q^2+q^3+⋯=\frac{1}{1-q}$, откуда

$S=\frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p^2}$

$MX=pS=\frac{1}{p}=5$

Найдем теперь дисперсию. По определению $DX=MX^2−(MX)^2$

$MX^2=\sum_{n=1}^{\infty }n^2\cdot P(X=n)=p\cdot \sum_{n=1}^{\infty }n^2q^{n-1}$

Пусть $g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n^2x^{n−1}$

$G(x)$  - такая, что $G′(x)=g(x)$

$G(x)=\sum_{n=1}^{\infty }nx^n=x*\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n−1}$

Последняя сумма  равна $\frac{1}{(1-x)^2}$

$G(x)=\frac{x}{1-x}$

$g(x)=G′(x)=\frac{x+1}{(1-x)^3}$

$MX^2=p⋅g(q)=p\frac{q+1}{p^3}=\frac{q+1}{p^2}=95⋅25=45$

Дисперсия $DX=MX^2−(MX)^2=45−25=20$