Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?

Определение . Нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.

Если существует конечная и отличная от нуля производная  f'(x₀)  то уравнение нормали к графику функции  y=f(x) в точке x₀ выражается следующим уравнением:

Пример 1. Написать уравнение  нормали к кривой y=3x-x² в точке x₀=2.

Решение.

1. Находим производную y'=3-2x

2. Находим значение производной в точке x₀=2:  f'(x₀)=f'(2)=3-2*2=-1

3. Находим значение функции в точке x₀=2:  f(x₀)=f(2)=3*2-2²=2

4. Подставляем найденные значения в уравнение нормали:

5. Получаем уравнение нормали: y=x

Калькулятор уравнения нормали

Найти уравнение нормали онлайн можно с помощью данного калькулятора.

Пример 2. (Рассмотрим особый случай когда f'(x₀) равно нулю)

Написать уравнение нормали к кривой y=cos24x в точке x₀=π/2

Решение.

1. Находим производную y'=2cos4x*(-sin4x*4)=-4sin2x

2. Находим значение производной в точке x₀=π/2:

f'(x₀)=f'(π/2)=-4sin(2*π/2)=0, следовательно уравнение нормали в данном случае применить нельзя.

Воспользуемся определением нормали,сначала находим уравнение касательной, потом находим уравнение перпендикулярной прямой проходящей через данную точку.