Вторник, 06.12.2016, 17:07
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 53
Гостей: 53
Пользователей: 0
» »
20:09
задача наискорейшего спуска
Решение задачи наискорейшего спуска

Пример. Найти минимум интеграла

I(y)=\int\limits_{0}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\,dx

на множестве функций, удовлетворяющих граничным условиям y(0)=0,~y(x_2)=y_2.

В этой задаче

F=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}.

Уравнение Эйлера

F'_y-\frac{d}{dx}\,F'_{y'}=0,~~~~~~~~~(16)

или после вычисления производной по переменной x

F'_{y}(x,y,y')-F'_{xy'}(x,y,y')-F'_{yy'}y'-F'_{y'y'}(x,y,y')y''=0.~~~~~~~(17)



имеет форму

-\frac{1}{2}\,y^{-3/2}\sqrt{1+y'^2}-\frac{d}{dx}\!\left(y^{-1/2}\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}\right)=0.

После некоторых упрощений оно приводится к виду

\frac{2y''}{1+y'^2}=-\frac{1}{y}.

Умножая обе части равенства на y' и интегрируя, получим

\ln(1+y'^2)=-\ln{y}+\ln{k}

 y'^2=\frac{k}{y}-1,~\sqrt{\frac{y}{k-y}}\,dy=\pm dx.

Полагая теперь
y=\frac{k}{2}(1-\cos{u}),~dy=\frac{k}{2}\sin{u}\,du

найдем после подстановки и упрощения откуда, интегрируя, получаем: x=\pm\frac{k}{2}(u-\sin{u})+C.

Так как кривая должна проходить через начало координат, следует положить C=0.

Мы видим, таким образом, что брахистохрона есть циклоида


x=\frac{k}{2}(u-\sin{u}), \quad y=\frac{k}{2}(1-\cos{u}).

Постоянная k должна быть найдена из того условия, чтобы эта кривая прошла через точку M_2(x_2,y_2).


Категория: Вариационное исчисление | Просмотров: 884 | Добавил: Admin | Рейтинг: 0.0/0


Похожие материалы:

Всего комментариев: 0
avatar
  .