Смешанное произведение
Смешанное произведение будем обозначать abc.
Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.
равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).
По свойству 7 скалярного произведения
Пусть -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то . Так как -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим в случае правой тройки и в случае левой тройки сомножителей.
Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.
Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то
1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;
2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.
Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов, векторного произведения , в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.
В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:
1) ;
2) .
Доказательство Соотношения и следуют из того, что abc является скалярным произведением a на и из линейности скалярного произведения
Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено , поэтому
Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.
Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).
Объем параллелепипеда вычисляется по формуле , а объем пирамиды -- . Так как , то .
получим, что , а .
Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.
Доказательство. находим координаты вектора : находим скалярное произведение вектора a на вектор : Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя . По определению , формула (10.9) доказана.Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.
Пример 10.3 Является ли система векторов , , линейно зависимой?Находим
По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.