Суббота, 10.12.2016, 06:01
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 6
Гостей: 6
Пользователей: 0

Смешанное произведение

        Определение 10.28   Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .         

Смешанное произведение будем обозначать abc.

        Предложение 10.26   Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.
        Доказательство.     По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства  скалярного произведения  $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times

{\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу  векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.     

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

        Предложение 10.27   Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "$ +$ ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "$ -$ ", если -- левую.
        Доказательство.     Пусть $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ .
 $ \vert{\bf d}\vert$ равен площади $ S$ параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).




Рис.10.26.Правая тройка





Рис.10.27.Левая тройка


По свойству 7 скалярного произведения 

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$ (10.7)

Пусть $ h$  -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c -- правая тройка векторов, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c -- левая тройка, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как $ {S\cdot h=V}$  -- объем параллелепипеда, то из формулы (10.7) получим $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.     

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$ (10.8)

        Предложение 10.28   Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.
         Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов, векторного произведения , в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) $ {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) $ {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

        Доказательство       Соотношения $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и $ {({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}=

{\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на $ {\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения 

Для второго аргумента: в силу равенства (10.8) выполнено $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$
$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{...

...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}=

{\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.     


        Предложение 10.29   Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторы a,b,c, равен $ \frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .

        Доказательство.     Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).




Рис.10.28.Объем пирамиды


Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $ {V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды -- $ {V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как $ {S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то $ {V_{пир}=\frac 16 V}$ .

 получим, что $ V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а $ {V_{пир}=\frac

16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .     

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

        Предложение 10.30   Пусть в правом ортонормированном базисе i,j,k заданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a...

...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$ (10.9)

        Доказательство.      находим координаты вектора $ {\bf b}\times {\bf c}$ :
$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2...

...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$
  находим скалярное произведение вектора a на вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ :
$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1

\left\vert\begin{...

...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$
Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $ \left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\\

{\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула (10.9) доказана.     

 Предложения 10.26 и 10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой ( предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

        Пример 10.3   Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?

Находим

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&...

...}\right\vert-

2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$
По  предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.