Суббота, 10.12.2016, 21:26
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 28
Гостей: 28
Пользователей: 0
» »
00:23
Исследовать на выпуклость функции двух переменных
Теорема (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма от  переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:  (Для того, чтобы квадратичная форма от  переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства: (знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса).).


Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно
определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной
(неопределенной) – в зависимости от знаков коэффициентов в её
каноническом виде. Если имеет нулевой угловой минор или один из угловых
миноров четного порядка отрицателен, то эта квадратичная форма не
является ни положительно, ни отрицательно определенной. То же можно
утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с
разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма
знакопеременная.

Критерий Сильвестра и его следствия
показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами
её матрицы. Поэтому термины, введенные определением 33, можно перенести
на симметричные матрицы. В частности, симметрическую матрицу А называют
положительно (отрицательно) определенной и пишут , если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма.

Сформулируем критерий выпуклости и строгой выпуклости функции двух переменных на множестве.

Пусть функция  имеет непрерывные частные производные второго порядка на открытом выпуклом множестве . Рассмотрим точку . Обозначим элементы матрицы Гессе  следующим образом:



  1. Для того, чтобы функция  была выпукла вниз на множестве , необходимо и достаточно, чтобы  для всех точек 

  2. Для того, чтобы функция  была выпукла вверх на множестве , необходимо и достаточно, чтобы  для всех точек принадлежащих множеству 

  3. Для того, чтобы функция  была строго выпукла вниз на множестве , достаточно чтобы  для всех точек принадлежащих множеству 

  4. Для того, чтобы функция  была строго выпукла вверх на множестве , достаточно чтобы  для всех точек принадлежащих множеству 

Если ни одно из четырех условий (43 – 46) не выполняется для всех точек, принадлежащих множеству  то функция  не обладает свойством выпуклости и строгой выпуклости на .

Пример 32. Рассмотрим функцию двух переменных . Проверим, что  строго выпукла вниз на . Для этого найдем: .

 для всех точек  Значит, функция  строго выпукла вниз на .
Категория: Исследовать функцию,построить график | Просмотров: 6564 | Добавил: Admin | Теги: условие Сельвестра, выпуклость функции двух переменных | Рейтинг: 0.0/0


Похожие материалы:

Всего комментариев: 0
avatar
  .