|
00:23
Исследовать на выпуклость функции двух переменных
|
Теорема (Критерий Сильвестра). Для того, чтобы квадратичная форма от  переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:  (Для того, чтобы квадратичная форма от переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:  (знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса).).Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной (неопределенной) – в зависимости от знаков коэффициентов в её каноническом виде. Если имеет нулевой угловой минор или один из угловых миноров четного порядка отрицателен, то эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. То же можно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная. Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами её матрицы. Поэтому термины, введенные определением 33, можно перенести на симметричные матрицы. В частности, симметрическую матрицу А называют положительно (отрицательно) определенной и пишут  , если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма.Сформулируем критерий выпуклости и строгой выпуклости функции двух переменных на множестве. Пусть функция  имеет непрерывные частные производные второго порядка на открытом выпуклом множестве  . Рассмотрим точку  . Обозначим элементы матрицы Гессе  следующим образом:
Если ни одно из четырех условий (43 – 46) не выполняется для всех точек, принадлежащих множеству  то функция не обладает свойством выпуклости и строгой выпуклости на  .Пример 32. Рассмотрим функцию двух переменных  . Проверим, что  строго выпукла вниз на  . Для этого найдем:  . для всех точек  Значит, функция  строго выпукла вниз на .
|
|
|
для всех точек 
для всех точек принадлежащих множеству 
для всех точек принадлежащих множеству 
для всех точек принадлежащих множеству | Всего комментариев: 0 | |
