Понедельник, 05.12.2016, 13:27
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 55
Гостей: 55
Пользователей: 0

Главная » Файлы » Бесплатное решение

Самостоятельная работа
06.11.2013, 09:24
Нужно решить первое и четвертое



Задача (11) (решена в учебнике Погорелова). Докажите, что середины сторон  пространственного четырехугольника являются вершинами  параллелограмма (вершины пространственного  четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Решение.



Пусть ABCD — данный пространственный четырехугольник (рис. 326). Пусть А1, В1, С1, D1 — середины его сторон. Тогда A1B1 — средняя линия  треугольника АBС, параллельная стороне АС, C1D1—средняя линия треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС.

По теореме 16.2 прямые A1B1 и C1D1 параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается параллельность прямых A1D1 и B1C1.

Итак,  четырехугольник  A1B1C1D1 лежит в одной плоскости и его  противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он  параллелограмм.


Условие задачи: 4. Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков АВ и CD, АС и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть точки M, N, K, L, P, Q — середины отрезков AB, BC, CD, AD, BD, AC соответственно.

Из задачи №11 получаем, что отрезки МК и NL являются диагоналями параллелограмма MNKL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD. Значит, МК и NL пересекаются в некоторой точке O и делятся этой точкой пополам. Также отрезки PQ и NL являются диагоналями параллелограмма PNQL с вершинами в серединах сторон четырехугольника ABCD, образованного этими сторонами. Значит, PQ и NL пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, а так как O — середина NL, то, значит, O — середина PQ. И PQ и NL пересекаются в точке O. Так что искомые прямые MK, NL и PQ, соединяющие середины отрезков AB и CD, BC и AD, AC и BD соответственно пересекаются в одной точке O, что и требовалось доказать.


Категория: Бесплатное решение
Просмотров: 898 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 0.0/0


Другие материалы по теме ""

Всего комментариев: 0
avatar