Вторник, 06.12.2016, 19:01
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 58
Гостей: 58
Пользователей: 0
» »
20:02
каноническое уравнение эллипса
Эксцентриситет эллипса, вершины эллипса, координаты фокусов

Определение. Эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Внешний вид уравнения какого-либо геометрического места точек зависит от взаимного расположения этого множества точек и декартовой системы координат.

Выберем прямоугольную систему декартовых координат так, чтобы ось абсцисс проходила через оба фокуса F1 и F2, начало координат находится в середине отрезка F1F2 (рис. 7). Если обозначить расстояние между фокусами F1 и F2 через 2с, тогда координаты фокусов будут соответственно (-с, 0) и (с, 0).

Пусть М(х, у) - текущая точка эллипса (рис. 7).

Обозначим сумму расстояний F1M и F2M через 2а (a > c по правилу треугольника), т.е. , или

Уравнение (36) и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простой для исследований форме:

Поскольку a > c, то можно обозначить

тогда получаем

Окончательно получим (при выбранной системе координат) уравнение

Уравнение (38) называют каноническим уравнением эллипса.

Замечание. Т.к. в процессе преобразований дважды возводились в квадрат обе части уравнения, то необходимо проверить, не получены ли "лишние" точки. Для этого нужно показать, что если координаты произвольной точки M0(x0, y0) удовлетворяют уравнению (38), то

Эта задача предлагается студентам для самостоятельного решения.

Сделаем некоторые замечания о форме эллипса. Из уравнения (38) понятно, что оси координат Ох и Оу являются осями симметрии эллипса и, следовательно, начало координат является центром симметрии эллипса.

Рассмотрим часть эллипса, расположенную в первой четверти, для которой можем записать уравнение (38) в виде:

Отсюда видно, что если x = 0, то y = b и, далее, с ростом х значения у убывают. Когда x = a, то y = 0 (рис. 8).

Числа а и b называют полуосями эллипса.

Учитывая симметрию эллипса относительно осей координат, можем построить полный эллипс (рис. 9).

Если изменяется величина с, то меняется форма эллипса, а именно: если и при c = 0 эллипс становится окружностью с уравнением

Т.о., окружность есть частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны между собой. Если же , то , т.е. эллипс сжимается вдоль оси Оу.
Величина может служить числовой характеристикой сжатия эллипса.
Число называют эксцентриситетом эллипса.
Две прямые называются директрисами эллипса.
Точки пересечения эллипса с осями симметрии называют вершинами эллипса.

Категория: Каноническое уравнение | Просмотров: 9774 | Добавил: Admin | Теги: кривые второго порядка | Рейтинг: 4.0/1



Всего комментариев: 0
avatar
  .