Суббота, 10.12.2016, 02:10
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 5
Гостей: 5
Пользователей: 0
» »
19:05
как привести уравнение кривой к каноническому виду
Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду

Укажем, как можно с помощью преобразований координат, рассмотренных в предыдущем параграфе, привести общее уравнение кривой второго порядка

к каноническим уравнениям эллипса, гиперболы или параболы, или к случаям их выражения.

С помощью поворота осей координат на некоторый угол α всегда можно избавиться от члена с произведением координат. Действительно, подставляя в (47) вместо x и y их выражения по формуле (43), получим новое уравнение

коэффициент которого a'12 будет равен

Приравнивая коэффициент a'12 к нулю, получим тригонометрическое уравнение

Отсюда получаем

Далее, по формулам тригонометрии, получаем нужные нам значения для sin α и cos α :

Следовательно, уравнение кривой в новых координатах O'x'y' примет вид:

Если в уравнении (50) , то говорят, что это уравнение определяет линию эллиптического типа;
если же , то говорят, что уравнение определяет линию гиперболического типа и, если один из коэффициентов a'11 или a'22 равен нулю, то уравнение (50) определяет линию параболического типа.

Далее с помощью параллельного переноса системы координат O'x'y' уравнение (50) всегда можно привести к виду:

т.е. фактически к каноническому виду.

Из уравнения (51) следует, что мы имеем либо эллипс (если a'11 и a'22 одного знака, а a"0 противоположного),
либо мнимое место точек (если a'11, a'22, a"0 имеют один знак),
либо одну точку (если a'11 и a'22 имеют один знак, а a"0 = 0),
либо гиперболу (если a'11 и a'22 разных знаков и a"0 ≠ 0),
либо две пересекающие прямые (если a'11 и a'22 разных знаков и a"0 = 0).

Если же в уравнении (50) один из коэффициентов a'11 и a'22 , например, a'22 обращается в нуль, то это уравнение с помощью переноса осей приведется к каноническому уравнению параболы при a'22 ≠ 0 или к виду при a'22 = 0, что дает или две параллельные прямые, или мнимое место точек.

Отсюда следует, что всякая кривая 2-го порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо представляет собой их "вырождение".

Пример. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 29x2 - 24xy + 36y2 + 82x - 96y - 91 = 0 и сделать чертеж.

Решение. Здесь a11 = 29, a12 =-12, a22 = 36.

Поэтому

решая последнее уравнение, получим

И формулы преобразования координат запишутся в виде:

Подставляем выражения "старых" координат через "новые" в исходное уравнение кривой и, проделав достаточно громоздкие, но простые преобразования, получаем:

или, выделяя полный квадрат по x' и y' можем записать:
отсюда:

Введем новые координаты и в этих координатах уравнение примет вид

т.е. данная кривая есть эллипс с полуосями a = 3 и b = 2. Сделаем чертеж (рис. 14).
Категория: Каноническое уравнение | Просмотров: 7518 | Добавил: Admin | Теги: кривые второго порядка | Рейтинг: 0.0/0



Всего комментариев: 0
avatar
  .