Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований - 26 Августа 2012 - Примеры решений задач

Главная » 2012 » Август » 26 » Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

22:14

Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

Пример. Найти ранг матрицы А с помощью элементарных преобразований
$A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 2 &3 &1 \\ 1& 1 & -2 & -2 & 1\\ 3&1 & 2 & 4 &3 \end{pmatrix}$ .
Решение. Вычислим ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Способ основан на использовании следующих утверждений:
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.
Теорема 2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.
Для этого матрицу А с помощью элементарных преобразований приведем к ступенчатому виду. Найдем сумму второй строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-1), а также сумму третьей строки матрицы А с первой строкой, умноженной на (-3). В результате указанных преобразований получим эквивалентную матрицу
$A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 2 &3 &1 \\ 0& 1 & -4 & -5 & 0\\ 0&1 & -4 & -5 &0 \end{pmatrix}$
Третью строку полученной матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на (-1), и получим эквивалентную матрицу
$A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 2 &3 &1 \\ 0& 1 & -4 & -5 & 0\\ 0&0 & 0 & 0 &0 \end{pmatrix}$
Удалим из этой матрицы третью строку и получим ступенчатую эквивалентную матрицу, количество ненулевых строк которой равно двум:
$A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 2 &3 &1 \\ 0& 1 & -4 & -5 & 0\\ \end{pmatrix}$
В соответствии с теоремой 1, ранг полученной матрицы равен двум, а значит (теорема 2), rang A =2

Калькулятор вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Категория: Линейная алгебра | Просмотров: 7879 | Добавил: Admin | Теги: найти ранг матрицы с помощью злемен, вычислить ранг матрицы | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0