Суббота, 10.12.2016, 06:00
Главная Регистрация RSS
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Поделиться
Статистика
Яндекс.Метрика
Flag Counter
Онлайн всего: 6
Гостей: 6
Пользователей: 0
» »
14:54
Задача о брахистохроне

Задача о брахистохроне - линии наискорейшего ската,  первая задача, положившая начало развитию вариационного исчисления.

 

 

Среди всех линий, соединяющих точки M_1 и M_2, требуется найти ту, по которой материальная точка, двигаясь под влиянием силы тяжести из M_1 без начальной скорости, достигнет пункта M_2 в кратчайшее время.

 

Для решения этой задачи мы должны будем рассмотреть всевозможные линии, соединяющие M_1 и M_2. Если взять какую-либо одну определенную линию l, то ей будет отвечать какое-то определенное значение T времени ската по ней материальной точки. Время T будет зависеть от выбора l, и из всех линий, соединяющих M_1 и M_2, нужно выбрать ту, которой отвечает наименьшее значение T.

Постановка задачи о брахистохроне.

 

Проведем через точки M_1 и M_2 вертикальную плоскость. Линия наискорейшего ската должна, очевидно, лежать в ней, и для ее разыскания мы можем ограничиться только линиями, лежащими в этой плоскости. Примем точку M_1 за начало координат, ось Ox направим горизонтально, ось Oy — вертикально вниз (рис. 1). Координаты точки M_1 будут (0;0); координаты же точки M_2 назовем (x_2,y_2). Возьмем любую линию, которая может быть задана уравнением

 

$y=f(x),\quad 0\leqslant x \leqslant x_2,~~~~~~~~~(1)$


где f — непрерывно дифференцируемая функция. Так как линия проходит через M_1 и M_2, функция f на концах отрезка [0;x_2] должна удовлетворять условиям

 

 

 

$f(0)=0,\quad f(x_2)=y_2.~~~~~~~~~(2)$

 

Если взять на линии произвольную точку M(x,y), то скорость движения v материальной точки в этом месте линии будет связана с координатой y точки известным из физики соотношением

 

 

$\frac{1}{2}\,v^2=gy, или v=\sqrt{2gy}.$

 

 

Время, необходимое для того, чтобы материальная точка прошла элемент ds дуги линии, имеет значение

 

 

$\frac{ds}{v}=\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}\,dx,$


и поэтому полное время ската точки вдоль линии от M_1 до M_2, равно

 

 

 

$T=\frac{1}{\sqrt{2g}}\int\limits_{0}^{x_2}\frac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{y}}\,dx.~~~~~~~~(3)$

 

 

 

Разыскание брахистохроны равносильно решению следующей минимальной задачи: среди всевозможных функций (1), удовлетворяющих условиям (2), нужно найти ту, которой соответствует наименьшее значение интеграла (3).


Подробное решение задачи о брахистохроне с помощью вариационного исчисления.

 

Категория: Вариационное исчисление | Просмотров: 1718 | Добавил: Admin | Рейтинг: 1.0/1


Похожие материалы:

Всего комментариев: 0
avatar
  .